☛ Límite de Funciones | Ejercicios resueltos ☚
¿Cómo va todo?, ¿Habéis llegado ya a vuestro límite? JE JE JE, os dejo un meme para que aún no salteis por la ventana. ♥
Halla el límite de las siguientes funciones polinómicas:
a) Lim (x^2-5x+3) Lim (x^2 5x +3) =1^2-5*1+3 = -2
x---1 x---1
b) Lim (x^7 -8x^2 +3x) = +∞ (Porque el término de mayor grado es positivo)
x----∞
c) Lim (x^3 -6x^2 +x -14)
x---2 _______________ = 0/0 = Factorizamos por Ruffini para quitar la indeterminación.
x^3 -x^2 -4
| 1 -6 1 14
2 | 2 -8 -14
----------------------------
1 -4 -7 0
| 1 -1 0 -4
2 | 2 2 4
-------------------------
1 1 2 0
(x-2)(x^2 -4x -7)
= Lim ---------------------- = -11/8
x---2 (x-2)(x^2 + x + 2)
d) Lim x-√5 x-√5 1
x----√5 --------- = 0/0 = Lim ----------------- = ------- = 1/2√5
x^2 - 5 x--√5 (x+√5)(x-√5) x+√5
x^2 + 3x -10
e) Lim ------------------- = 1/2 (Porque tienen el mismo grado arriba y abajo)
x---∞ 2x^2 -2x -4
( 2x+1)^1/-1
f) Lim ( ------) = 1^∞ Es una indeterminación.
x----1 ( x+2 )
Se resuelven buscando el número e.
( 2x +1 ) (( x-1 ))^1/x-1 x-1 1
Lim ( ------- -1 ) = (------- ) = ----- x --- = 1/3
x--1 ( x+2 ) ((x+2 ) ) x+2 x-1
Le restamos uno a lo que hay en el paréntesis y lo dejamos ahí, eso será e, sin embargo el resultado que nos ha dado lo sacamos fuera y lo múltiplicamos con la fracción que estaba elevada y sustituimos con el valor que nos daba el límite, así tenemos e elevado a algo.
e^1/3 = 3√e
g) Calcula el valor de a para que la función siguiente sea continua:
f(x) = |(x+1 si x -< 1) | (menor o igual)
|(3-ax^2 si x>1)| (mayor)
Lim f(x) = Lim (x+1) = 2; Lim f(x) = Lim (3-ax^2) = 3-a*1^2 = 3-a
x--1- x---1- x---1+
Para que sea continua los límites laterales tienen que ser iguales; por tanto, 3-a=2
a=1
h) Dada la función f(x) = x^5 - x^8
-------------
1-x^6
Halla los puntos de discontinuidad.
Hallamos los puntos en los que el denominador se anula: 1-x^6 = 0 --- x= (√1)^6 = +-1
x^5 -x^8
Punto x = 1 Lim ---------------- = 1/2 Como existe límites la discontinuidad es evitable.
x--1 1-x^6
En el Punto x= -1 no existe límiye por tanto la discontinuidad es no evitable.
Halla el límite de las siguientes funciones polinómicas:
a) Lim (x^2-5x+3) Lim (x^2 5x +3) =1^2-5*1+3 = -2
x---1 x---1
b) Lim (x^7 -8x^2 +3x) = +∞ (Porque el término de mayor grado es positivo)
x----∞
c) Lim (x^3 -6x^2 +x -14)
x---2 _______________ = 0/0 = Factorizamos por Ruffini para quitar la indeterminación.
x^3 -x^2 -4
| 1 -6 1 14
2 | 2 -8 -14
----------------------------
1 -4 -7 0
| 1 -1 0 -4
2 | 2 2 4
-------------------------
1 1 2 0
(x-2)(x^2 -4x -7)
= Lim ---------------------- = -11/8
x---2 (x-2)(x^2 + x + 2)
d) Lim x-√5 x-√5 1
x----√5 --------- = 0/0 = Lim ----------------- = ------- = 1/2√5
x^2 - 5 x--√5 (x+√5)(x-√5) x+√5
x^2 + 3x -10
e) Lim ------------------- = 1/2 (Porque tienen el mismo grado arriba y abajo)
x---∞ 2x^2 -2x -4
( 2x+1)^1/-1
f) Lim ( ------) = 1^∞ Es una indeterminación.
x----1 ( x+2 )
Se resuelven buscando el número e.
( 2x +1 ) (( x-1 ))^1/x-1 x-1 1
Lim ( ------- -1 ) = (------- ) = ----- x --- = 1/3
x--1 ( x+2 ) ((x+2 ) ) x+2 x-1
Le restamos uno a lo que hay en el paréntesis y lo dejamos ahí, eso será e, sin embargo el resultado que nos ha dado lo sacamos fuera y lo múltiplicamos con la fracción que estaba elevada y sustituimos con el valor que nos daba el límite, así tenemos e elevado a algo.
e^1/3 = 3√e
g) Calcula el valor de a para que la función siguiente sea continua:
f(x) = |(x+1 si x -< 1) | (menor o igual)
|(3-ax^2 si x>1)| (mayor)
Lim f(x) = Lim (x+1) = 2; Lim f(x) = Lim (3-ax^2) = 3-a*1^2 = 3-a
x--1- x---1- x---1+
Para que sea continua los límites laterales tienen que ser iguales; por tanto, 3-a=2
a=1
h) Dada la función f(x) = x^5 - x^8
-------------
1-x^6
Halla los puntos de discontinuidad.
Hallamos los puntos en los que el denominador se anula: 1-x^6 = 0 --- x= (√1)^6 = +-1
x^5 -x^8
Punto x = 1 Lim ---------------- = 1/2 Como existe límites la discontinuidad es evitable.
x--1 1-x^6
En el Punto x= -1 no existe límiye por tanto la discontinuidad es no evitable.
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