Ejercicios RESUELTOS hallar la POSICION RELATIVA | 2 Bachillerato

Vamooooooos, gentecilla.

 

Hallar la posición relativa de la recta y el plano.

r x+1/2=y/1=z/-1     t  x-2y+3z+1=0


Hacemos las ecuaciones ímplicitas de y junto con t nos quedarían estas.

x-2y = -1
y+z =0
x-2y+3z = -1


Hacemos una matriz con los siguientes datos de tal manera que nos quedaría:

(1 -2 0  |-1)
(0 -1 -1 |0)
(1 -2   3| 1)


Si hacemos la matriz A nos dará Rango 3 y si hacemos la matriz A* también nos dará Rango 3
al tener el mismo rango y encima tratarse del tres sabemos que se van a cortar en un punto, si hacemos el sistema de ecuaciones de la matriz nos dará el siguiente punto (-1,0,0)


Estudia la posición relativa de la recta y el plano en cada caso.


r: x-1/5=y/3=z/0
t: 5x-7y=-3

 Cuando veamos una ecuación paramétrica vamos a pasarla a ímplicita siempre y cuando se nos pida hallar la posición relativa ya que de esta forma podemos trabajar mejor con las ecuaciones, de tal manera que t y r se nos quedarí así:

3x-5y-3=0
z=0
5x-7y=-3


A continuación colocamos estos valores en una matriz, OJITO ten en cuenta que cuando no hay x ni y el valor es cero, entonces:

(3 -5 0 |3)
(0 0 1 | 0)
(5 -7 0 | -3)

Recordatorio: Todo lo que está a la izquierda de este simbolo | es la matriz A y para la matriz A* (la ampliada) no se tendrá en cuenta esta línea |.

Hacemos los determinantes y sorpresa, el Rango A =3 y el rango de A* también es 3

Podemos hallar los valores por cramer o por sistema, lo que veaís más cómodo.

Por cramer:

x= (3 -5 0)
      (0   0 1)
     ( -3 -7 0)
__________    =-9
          -4 

 Depende de como hagáis el sistema os puede salir al inverso pero que sigue estando bien, ojead:

(9,-6,0)
o
(-9,6,0)

- -  - - - -   - - -   - - -   - - -  - - - - -
Ha coincido que ambos casos era de rango 3, más que nada porque es lo más laborioso para hallar ese punto exacto en el que se atraviesa el plano, pero ahora bien, puede que no siempre ambos rango os den tres por ello:


Rango (A)= 2 y Rango A*= 2   S.C.I  Son coincidentes hay infinitos puntos.
Rango (A)=2 y Rango A*=3     S.I no puntos en común son coplanarias. Paralelas.
Rango (A)=3 y Rango A*=4     S.I    No puntos en común, se cruzan en el espacio