Ejercicios resueltos ECUACIÓN del PLANO | 2º Bachillerato

Escribe la ecuación del plano que contiene la recta r: x-y+z=1 | 2x+y-z=2 y es paralelo a S: x+1/3 = y- 1/2 = z+2/1.


Para poder hallar la ecuación de un plano necesitamos un punto y dos vectores. Cuando nos den una recta paralela al plano de ahí solo cogeremos un vector nunca el punto.

La recta r como nos da dos ecuaciones vamos a hacer un sistema de ecuaciones para poder pasarla a paramétrica y de ahí hallar el punto y el vector.

( 1 -1 1 | 1)   
( 2  1 -1| 2)  
Sumándolas conseguimos suprimir el valor y de abajo y nos da un resultado (0,3,-3,0)  el cual podemos simplicar, entonces hacemos la paramétrica y conseguiriamos los siguientes valores. (& lo usaremos como valor de landa)
z=&
y=&
x=1

Con estos resultados podemos obtener un punto y un vector siendo el punto (1,0,0) y el vector (0,1,1) el vector nos lo va indicar el valor que haya delante de landa si no hay ninguno lo entendemos por uno y en caso de que no haya landa un cero.

La otra recta S al estar en forma paramétrica el denominador de la fracción será el que nos indique el vector siendo en este caso (3,2,1).


Para hallar la ecuación del plano hallamos el determinante:

| x-1   y   z|
| 0      1   1|     = 0
|  3     2   1|


Si hacéis el determinante os saldrá que la ecuación es: -x+3y-3z+1=0



Escribe la ecuación del plano que contiene P (3,0,-2) y a la recta R: X=3+2& y= 1-&
z=1+&.

Seguimos necesitando un punto y dos vectores nada más oír ecuación del plano vamos a estar alerta ingeniándonoslas para conseguir esos tres datos.

Con la recta r tenemos el vector (2,-1,1) y el punto (3,0,-2) pero no nos da ningún vector entonces lo hallaremos ya que restando los puntos de PR conseguiremos un vector tal que así.

(3,1,1)-(3,0,2)= (0,1,3)


Ya tenemos los dos vectores y el punto, a continuación hacemos el determinante y nos deberá salir que la ecuación es:

| x-3  y  z+2|
|  2    -1    1|  =  0                   -4x-6y+2z+16=0
| 0     1      3|